miércoles, 9 de octubre de 2013

Hamilton, complejos, cuaterniones, y octoniones (o papá, ¿puedes multiplicar tripletes?)

http://francisthemulenews.wordpress.com/2008/11/03/hamilton-complejos-cuaterniones-y-octoniones-o-papa-%C2%BFpuedes-multiplicar-tripletes/

La historia de la ciencia está plagada de historias apócrifas, como la de Newton y su manzana, o la del hijo deHamilton preguntándole a su padre, “papá, ¿ya has podido multiplicar tripletes?,” contestando reiteradamente éste, “no hijo, sólo puedo sumarlos y restarlos.” El divertido y curioso artículo de los franceses Sophie Morier-Genoud y Valentin Ovsienko, “Well, Papa, can you multiply triplets?,” ArXiv preprint, 30 Oct 2008 , aprovecha dicha frase para presentarnos una nueva visión algebraica de los cuaterniones como un álgebra graduada conmutativa (dicha visión no es posible para los octoniones). De esta manera, aunque no logran “multiplicar” tripletes, sí logran “sumarlos”. Los aficionados a la matemática disfrutarán con su fácil lectura.
Se dice que Hamilton descubrió el producto de los cuaterniones, tras más de dos décadas de darle “al coco” buscando el producto de tripletes (que es imposible), mientras paseaba por el puente Brougham Bridge de Dublín, en el que actualmente se puede contemplar la placa que vemos a la izquierda.
Por cierto, si vais a Dublín, no busquéis el puente “Brougham” (pronunciado en irlandés como “broom”) sino el puente “Broome” que se encuentra en la calle “Broombridge Road.” Desde el centro de la ciudad tenéis que tomar el bus número 20, por ejemplo, en la parada de O’Connell Street, al sur de Parnell Square [palabras de Baez en Dublin].
Para Hamilton, el descubrimiento de los cuaterniones fue su mayor descubrimiento. De hecho, se creó en las Islas Británicas la “secta” de los “cuaternionistas” que “ocultaba” ciertos secretos mágicos en la matemática de estos números que les permitía resolver problemas que otros matemáticos eran incapaces. A finales del s.XIX la interpretación de las rotaciones en el marco de las recién inventadas matrices relegó a los cuaterniones al reducto de los matemáticos. Actualmente su usan en gráficos por ordenador para interpolar rotaciones (interpolar matrices ortogonales garantizando la ortogonalidad es algo “ligeramente” más complicado).
Volviendo al artículo. Los autores interpretan el álgebra de cuaterniones (son números que forman un cuerpo no conmutativo) como el álgebra graduada Z2×Z2×Z2 que incluye una suma conmutativa de tripletes (¿el buscado “producto” de tripletes por Hamilton?). El estudio de las álgebras conmutativas graduadas sobre el grupo abeliano Z2 × Z2 × ··· × Z2 (n veces) adquiere gracias a esta relación un especial interés “histórico”. Por cierto, los octoniones no se pueden realizar con un álgebra conmutativa graduada (luego no tenemos un “producto” (suma) de 7-tuplas de números).
Para los no aficionados al álgebra, que habrán entendido poco, no quiero explayarme, al menos sirva el recuerdo al genial Hamilton y sus cuaternios.
Brougham Bridge en medio de Broombridge Road, Dublín.

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